总结是把一定阶段内的有关情况分析研究，做出有指导性结论的书面材料，它是增长才干的一种好办法，让我们抽出时间写写总结吧。那么如何把总结写出新花样呢？下面是小编整理的线性代数知识点总结，欢迎大家分享。
线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，太奇考研专家们提醒广大的20__年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对20__年考研的同学们学习有帮助。
行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《20__年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。
矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。
向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。
往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论).主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。
特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化.重点题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、由特征值或特征向量反求A、有关实对称矩阵的问题。
由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础.重点内容包括：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩和标准形等概念;了解二次型的规范形和惯性定理;掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形;理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法.重点题型有：二次型表成矩阵形式、化二次型为标准形、二次型正定性的判别。
一、行列式与矩阵
行列式、矩阵是线性代数中的基础章节，从命题人的角度来看，可以像润滑油一般结合其它章节出题，因此必须熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式——具体行列式的计算和抽象行列式的计算。其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型，主要方法是应用行列式的性质及按行(列)展开定理化为上下三角行列式求解;而对于抽象行列式而言，考点不在如何求行列式，而在于结合后面章节内容的相对综合的题。
矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵各种运算律、矩阵的基本性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩、初等矩阵等。
二、向量与线性方程组
向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，而其后两章特征值和特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。
向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。
这部分的重要考点一是线性方程组所具有的两种形式——矩阵形式和向量形式;二是线性方程组与向量以及其它章节的各种内在联系。
(1)齐次线性方程组与向量线性相关、无关的联系
齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立——印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。
齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解;②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立;但向量部分中判断向量组是否线性相关、无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系——齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关、无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。
(2)齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系
同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过 “秩→线性相关、无关→线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。
(3)非齐次线性方程组与线性表出的联系
非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量
三、特征值与特征向量
相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关性，“牵一发而动全身”。
本章知识要点如下：
1. 特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。
2. 相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似、等价与合同：
3. 矩阵可相似对角化的条件，包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件一是n阶矩阵有n个线性无关的特征值;二是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。
4. 实对称矩阵及其相似对角化，n阶实对称矩阵必可正交相似于以其特征值为对角元素的对角阵。
四、二次型
这部分所讲的内容从根本上讲是特征值和特征向量的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵，必存在正交矩阵，使其可以相似对角化”，其过程就是上一章实对称矩阵相似对角化的应用。
本章核心要点如下：
1. 用正交变换化二次型为标准型。
2. 正定二次型的判断与证明。
第一章行列式
知识点1：行列式、逆序数
知识点2：余子式、代数余子式
知识点3：行列式的性质
知识点4：行列式按一行（列）展开公式
知识点5：计算行列式的方法
知识点6：克拉默法则
第二章矩阵
知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律
知识点8：矩阵的乘法运算及运算律
知识点9：计算方阵的幂
知识点10：转置矩阵及运算律
知识点11：伴随矩阵及其性质
知识点12：逆矩阵及运算律
知识点13：矩阵可逆的判断
知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算
知识点15：矩阵方程的求解
知识点16：初等变换的概念及其应用
知识点17：初等方阵的概念
知识点18：初等变换与初等方阵的关系
知识点19：等价矩阵的概念与判断
知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式
知识点21：矩阵的秩的概念与判断
知识点22：矩阵的秩的性质与定理
知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算
知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例
第三章向量
知识点25：向量的概念及运算
知识点26：向量的线性组合与线性表示
知识点27：向量组之间的线性表示及等价
知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念
知识点29：线性表示与线性相关性的关系
知识点30：线性相关性的判别法
知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念
知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系
知识点33：求向量组的最大无关组
知识点34：有关向量组的定理的综合运用
知识点35：内积的概念及性质
知识点36：正交向量组、正交阵及其性质
知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法
知识点38：向量空间（数一）
知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）
知识点40：基变换下的坐标变换（数一）
第四章线性方程组
知识点41：齐次线性方程组解的性质与结构
知识点42：非齐次方程组解的性质及结构
知识点43：非齐次线性线性方程组解的各种情形
知识点44：用初等行变换求解线性方程组
知识点45：线性方程组的公共解、同解
知识点46：方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系
知识点47：方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例
第五章矩阵的特征值与特征向量
知识点48：特征值与特征向量的概念与性质
知识点49：特征值和特征向量的求解
知识点50：相似矩阵的概念及性质
知识点51：矩阵的相似对角化
知识点52：实对称矩阵的相似对角化.
知识点53：利用相似对角化求矩阵和矩阵的幂
第六章二次型
知识点54：二次型及其矩阵表示
知识点55：矩阵的合同
知识点56 : 矩阵的等价、相似与合同的关系
知识点57：二次型的标准形
知识点58：用正交变换化二次型为标准形
知识点59：用配方法化二次型为标准形
知识点60：正定二次型的概念及判断
行列式
一、行列式概念和性质
1、逆序数：所有的逆序的总数
2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和
3、行列式性质：（用于化简行列式）
（1）行列互换（转置），行列式的值不变
（2）两行（列）互换，行列式变号
（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式
（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
二、重要行列式
1、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积
2、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘
3、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则
4、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
★5、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：
三、按行（列）展开
1、按行展开定理：
（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值
（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0
四、克莱姆法则
1、克莱姆法则：
（1）非齐次线性方程组的'系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0
（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
矩阵
一、矩阵的运算
1、矩阵乘法注意事项：
（1）矩阵乘法要求前列后行一致；
（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A__,f(A)时，可以用交换律）
（3）AB=O不能推出A=O或B=O。
二、矩阵的逆运算
1、逆的求法：
（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解
（2）A为数字矩阵：（A|E）→初等行变换→（E|A-1）
三、矩阵的初等变换
1、初等行（列）变换定义：
（1）两行（列）互换；
（2）一行（列）乘非零常数c
（3）一行（列）乘k加到另一行（列）
★四、矩阵的秩
1、秩的定义：非零子式的最高阶数
注：
（1）r（A）=0意味着所有元素为0，即A=O
（2）r（An×n）=n（满秩）←→|A|≠0←→A可逆；r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；
（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。
2、秩的求法：
（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解；
（2）A为数字矩阵：A→初等行变换→阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为0），则r（A）=非零行的行数
五、伴随矩阵
六、分块矩阵
1、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。
2、分块矩阵求逆：
向量
一、向量的概念及运算
1、长度定义：||α||=
二、线性组合和线性表示
1、线性表示的充要条件：
非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示
(1)←→非齐次线性方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。
★(2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）
2、线性表示的充分条件：
若α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示。
3、线性表示的求法：（大题第二步）
设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表示。
（α1，α2，…，αs|β）→初等行变换→（行最简形|系数）
行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0
三、线性相关和线性无关
1、线性相关注意事项：
（1）α线性相关←→α=0
（2）α1，α2线性相关←→α1，α2成比例
2、线性相关的充要条件：
向量组α1，α2，…，αs线性相关
（1）←→有个向量可由其余向量线性表示；
（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；
★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s 即秩小于个数
3、线性相关的充分条件：
（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关
（4）以少表多，多必相关
★推论：n+1个n维向量一定线性相关
4、线性无关的充要条件：
向量组α1，α2，…，αs线性无关
（1）←→任意向量均不能由其余向量线性表示；
（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解
（3）←→r（α1，α2，…，αs）=s
特别地，n个n维向量α1，α2，…，αn线性无关
←→r（α1，α2，…，αn）=n ←→|α1，α2，…，αn |≠0 ←→矩阵可逆
5、线性无关的充分条件：
（1）整体无关，部分无关
（2）低维无关，高维无关
（3）正交的非零向量组线性无关
（4）不同特征值的特征向量无关
6、线性相关、线性无关判定
（1）定义法
★（2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关
四、极大线性无关组与向量组的秩
1、极大线性无关组不唯一
2、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩
对比：矩阵的秩:非零子式的最高阶数
★注:
向量组α1，α2，…，αs的秩与矩阵A=（α1，α2，…，αs）的秩相等
★3、极大线性无关组的求法
（1）α1，α2，…，αs为抽象的：定义法
（2）α1，α2，…，αs为数字的：（α1，α2，…，αs）→初等行变换→阶梯型矩阵
则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组
五、Schmidt正交化
1、Schmidt正交化
设α1，α2，α3线性无关
（1）正交化
令β1=α1
（2）单位化
线性方程组
一、解的判定与性质
1、齐次方程组：
（1）只有零解←→r（A）=n（n为A的列数或是未知数x的个数）
（2）有非零解←→r（A）＜n
2、非齐次方程组：
（1）无解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1
（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n
（3）无穷多解←→r（A）=r（A|b）＜n
3、解的性质：
（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解
（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，则ξ+η是Ax=b的解
（3）若η1，η2是Ax=b的解，则η1-η2是Ax=0的解
二、基础解系
★1、重要结论：（证明也很重要）
设A是m×n阶矩阵，B是n×s阶矩阵，AB=O
（1）B的列向量均为方程Ax=0的解
（2）r（A）+r（B）≤n
2、总结：基础解系的求法
（1）A为抽象的：由定义或性质凑n-r（A）个线性无关的解
（2）A为数字的：A→初等行变换→阶梯型
自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系
三、解的结构（通解）
1、齐次线性方程组的通解（所有解）
设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，
则Ax=0的通解为k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r （其中k1，k2，…，kn-r为任意常数）
2、非齐次线性方程组的通解
设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，η为Ax=b的特解，
则Ax=b的通解为η+ k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r （其中k1，k2，…，kn-r为任意常数）
特征值与特征向量
一、矩阵的特征值与特征向量
1、特征值、特征向量的定义：
设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。
2、特征多项式、特征方程的定义：
|λE-A|称为矩阵A的特征多项式（λ的n次多项式）。
|λE-A |=0称为矩阵A的特征方程（λ的n次方程）。
注:特征方程可以写为|A-λE|=0
3、重要结论：
（1）若α为齐次方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量
（2）A的各行元素和为k，则(1，1，…，1)T为特征值为k的特征向量。
（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。
△4、总结：特征值与特征向量的求法
（1）A为抽象的：由定义或性质凑
（2）A为数字的：由特征方程法求解
5、特征方程法：
（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn
注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略)
（2）解齐次方程（λiE-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（λiE-A）个解）
二、相似矩阵
1、相似矩阵的定义：
设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B
2、相似矩阵的性质
（1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似
（2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似
（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）
三、矩阵的相似对角化
1、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=
称A可相似对角化。
2、相似对角化的充要条件
（1）A有n个线性无关的特征向量
（2）A的k重特征值有k个线性无关的特征向量
3、相似对角化的充分条件：
（1）A有n个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关）
（2）A为实对称矩阵
4、重要结论：
（1）若A可相似对角化，则r（A）为非零特征值的个数，n-r（A）为零特征值的个数
（2）若A不可相似对角化，r（A）不一定为非零特征值的个数
四、实对称矩阵
1、性质
（1）特征值全为实数
（2）不同特征值的特征向量正交
（3）A可相似对角化，即存在可逆矩阵P使得P-1AP=Λ
（4）A可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ
二次型
一、二次型及其标准形
1、二次型：
（1）一般形式
（2）矩阵形式（常用）
2、标准形：
如果二次型只含平方项，这样的二次型称为标准形（对角线）
3、二次型化为标准形的方法：
（1）配方法：
★（2）正交变换法：
二、惯性定理及规范形
1、定义：
正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；
负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；
2、惯性定理：
二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。
注：
（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。
（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）
三、合同矩阵
1、定义：
A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=CTAC，称A与B合同
△2、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系
（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值
（2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数
（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）
注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价
四、正定二次型与正定矩阵
1、正定的定义
二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。
2、n元二次型xTAx正定充要条件：
（1）A的正惯性指数为n
（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=CTC或CTAC=E
（3）A的特征值均大于0
（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）
3、总结：二次型正定判定（大题）
（1）A为数字：顺序主子式均大于0
（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：AT=A；②再由定义或特征值判定
4、重要结论：
（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），Ak，AT，A-1，A__正定
（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定
线性代数的学习切入点是线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。
线性方程组
线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。
关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：
1、方程组是否有解，即解的存在性问题；
2、方程组如何求解，有多少个；
3、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。
高斯消元法
这最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：
1、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；
2、交换某两个方程的位置；
3、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。
任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。
由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。
对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。
可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。
系数矩阵和增广矩阵
高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的.是矩阵的初等行变换。阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。
阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。
对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现d=0这一项，则方程组无解，若未出现d=0一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解；若r<n，则方程组有无穷多解。
在利用初等变换得到阶梯型后，还可进一步得到最简形，使用最简形，最简形的特点是主元上方的元素也全为零，这对于求解未知量的值更加方便，但代价是之前需要经过更多的初等变换。在求解过程中，选择阶梯形还是最简形，取决于个人习惯。
齐次方程组
常数项全为零的线性方程称为齐次方程组，齐次方程组必有零解。
齐次方程组的方程组个数若小于未知量个数，则方程组一定有非零解。
利用高斯消元法和解的判别定理，以及能够回答前述的基本问题：解的存在性问题和如何求解的问题，这是以线性方程组为出发点建立起来的最基本理论。
对于n个方程n个未知数的特殊情形，我们发现可以利用系数的某种组合来表示其解，这种按特定规则表示的系数组合称为一个线性方程组(或矩阵)的行列式。行列式的特点：有n!项，每项的符号由角标排列的逆序数决定，是一个数。
通过对行列式进行研究，得到了行列式具有的一些性质(如交换某两行其值反号、有两行对应成比例其值为零、可按行展开等等)，这些性质都有助于我们更方便的计算行列式。
用系数行列式可以判断n个方程的n元线性方程组的解的情况，这就是克莱姆法则。
总而言之，可把行列式看作是为了研究方程数目与未知量数目相等的特殊情形时引出的一部分内容。
线性代数占考研数学总分值的22%，约34分，以2个选择题、1个填空题、2个解答题的形式出现。虽然线性代数的考点众多，但要把这5个题目的分值完全收入囊中，则需要进行重点题型重点突破。
矩阵的秩
矩阵是解决线性方程组的解的有力工具，矩阵也是化简二次型的方便工具。矩阵理论是线性代数的重点内容，熟悉掌握了矩阵的相关性质与内容，利用其来解决实际应用问题就变得简单易行。正因为矩阵理论在整个线性代数中的重要作用，使它变为考试考查的重点。矩阵由那么多元素组成，每一个元素都在扮演不同的角色，其中的核心或主角是它的秩!
通过几十年考研考试命题，命题老师对题目的形式在不断地完善，这也要求大家深入理解概念，灵活处理理论之间的关系，能变通地解答题目。例如对矩阵秩的理解，对矩阵的秩与向量组的秩之间的关系的理解，对矩阵等价与向量组等价之间区别的理解，对矩阵的秩与方程组的解之间关系的掌握，对含参数的矩阵的处理以及反问题的解决能力等，都需要在对概念理解的基础上，联系地看问题，及时总结结论。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量在将矩阵对角化过程中起着决定作用，也是将二次型标准化、规范化的便捷方式，故特征值与特征向量也是考查重点。对于特征值与特征向量，须理清其相互关系，也须能根据一些矩阵的特殊性求得其特征值与特征向量(例如根据矩阵各行元素之和为3能够判断3是其一个特征值，元素均为1的列向量是其对应的特征向量)，会处理含参数的情况。
线性方程组求解
对线性方程组的求解总是通过矩阵来处理，含参数的方程组是考查的重点，对方程组解的结构及有解的条件须熟悉。例如20__年第20题(数学二为22题)，已知三元非齐次线性方程组存在2个不同的解，求其中的参数并求方程组的通解。此题的关键是确定参数!而所有信息完全隐含在"AX=b存在2个不同的解"这句话中。由此可以得到齐次方程组有非0解，系数矩阵降秩，行列式为0，可求得矩阵中的参数;非齐次方程组有解故系数矩阵与增广矩阵同秩可确定唯一参数及b中的参数。至于确定参数后再求解非齐次方程组就变得非常简单了。
二次型标准化与正定判断
二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连，即与矩阵的特征值与特征向量紧密联系。这里需要掌握一些处理含参数矩阵的方法以便运算中节省时间。正定二次型有很优秀的性质，但毕竟这是一类特殊矩阵，判断一个矩阵是否属于这个特殊类，可以使用正定矩阵的几个充要条件，例如二次型矩阵的特征值是否全大于0，顺序主子式是否均大于0等，但前者更常用一些。
历年考研数学真题解析线性代数命题特点解析
考研数学是研究生招生入学考试中通过笔试的形式对考生数学功底的考查，从近几年的考研数学历年真题分析结果来看，可以得出一个结论：线性代数的难度在高数和概率统计之间，且大多数的同学认为线性代数试题难度不大，就是计算量稍微偏大点，线代代数的考查是对基本方法的考查，但是往往在做题过程中需要利用一些性质进行辅助解决。
线性代数的学科特点是知识点之间的综合性比较强，这也是它本身的一个难点。这就需要同学们在复习过程中，注意对于知识点间的关联性进行对比着学习，有助于巩固知识点且不易混淆。
总体来说，线性代数主要包括六部分的内容，行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型。
一、行列式部分，熟练掌握行列式的计算。
行列式实质上是一个数或含有字母的式子，如何把这个数算出来，一般情况下很少用行列式的定义进行求解，而往往采用行列式的性质将其化成上或下三角行列式进行计算，或是采用降阶法(按行或按列展开定理)，甚至有时两种方法同时用。此外范德蒙行列式也是需要掌握的。行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等等。同学们只要掌握了基本方法即可。
二、矩阵部分，重视矩阵运算，掌握矩阵秩的应用。
通过考研数学历年真题分类统计与考点分布，矩阵部分的考点集中在逆矩阵、伴随矩阵、矩阵的秩及矩阵方程的考查。此外，含随矩阵的矩阵方程，矩阵与行列式的关系、逆矩阵的求法也是考生需要掌握的知识点。涉及秩的应用，包含秩与矩阵可逆的关系，矩阵及其伴随矩阵秩之间的关系，矩阵的秩与向量组的秩之间的关系，矩阵等价与向量组等价的区别与联系，系数矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析。
三、向量部分，理解相关无关概念，灵活进行判定。
向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重，也是考研线性代数每年必出的考点。要求考生掌握线性相关、线性表出、线性无关的定义。以及如何判断向量组线性相关及线性无关的方法。 向量组的秩和极大无关组以及向量组等价这些重要的知识点要求同学们一定一定掌握到位。
这是线性代数前三个内容的命题特点，而行列式的矩阵是整个线性代数的基础，对于行列式的计算及矩阵的运算与一些重要的性质与结论请考生朋友们一定要务必掌握，否则的话，对于后面四部分的学习会越学越难，希望同学们在复习过程中一定注意前面内容的复习，为后面的考研数学复习打好基础。
前面我们已经分析过，考研数学线性代数这门学科整体的特点是知识点之间的综合性比较强，有些概念较为抽象，这也是大部分考生认为考研数学线性代数不好学，根本找不到复习的头绪，做题时也是一头雾水，不知道怎么分析考虑。
这里，老师要求大家在学习过程中一定要注意知识间之间的关联性，理解概率的实质。如：矩阵的秩与向量组的秩之间的关联，矩阵等价与向量组等价的区别，矩阵等价、相似、合同三者之间的区别与联系、矩阵相似对角化与实对称矩阵正交变换对角化二者之间的区别与联系等等。若是同学们对于上面的问题根本分不清楚，则说明大家对于基本概念、基本方法还没有完全理解透彻。不过，大家也不要太焦急，希望同学们在后期的复习过程中对于基本概念、基本方法要多加理解和体会，学习一定要有心得。
下面我们分析一下后面三部分的内容，线性方程组、特征值与特征向量、二次型的命题特点。
线性方程组，会求两类方程组的解。线性方程组是线性代数这么学科的核心和枢纽，很多问题的解决都离不开解方程组。因而线性方程组解的问题是每年必考的知识点。对于齐次线性方程组，我们需要掌握基础解系的概念，以及如何求一个方程组的基础解系。清楚明了基础解系所含线性无关解向量的个数和系数矩阵的秩之间的关系。会判断非齐次线性方程组的解的情况，掌握其求解的方法。此外，考生还需要掌握非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组的解结构之间的关系。
特征值与特征向量，掌握矩阵对角化的方法。这一部分是理论性较强的，理解特征值与特征向量的定义及性质，矩阵相似的定义，矩阵对角化的定义。同学们还需掌握求矩阵特征值与特征向量的基本方法。会判断一个矩阵是否可以对角化，若可以的话，需要把相应的可逆矩阵P求出来。还需要注意矩阵及其关联矩阵(转置、逆、伴随、相似)的特征值与特征向量的关系。反问题也是喜欢考查的一类题型，已知矩阵的特征值与特征向量，反求矩阵A。
二次型，理解二次型标准化的过程，掌握实对称矩阵的对角化。二次型几乎是每年必考的一道大题，一般考查的是采用正交变换法将二次型标准化。掌握二次型的标准形与规范型之间的区别与联系。会判断二次型是否正定的一般方法。讨论矩阵等价、相似、合同的关系。
虽然线性代数在考研数学考试试卷中仅有5题，占有34分的分值，但是这34分也不是很轻松就能拿下的。同学们在复习过程中需要对于基础知识点理解透彻，做考研数学题过程中多分析总结。
20__考研数学概率解题9大常用思路
在考研数学一和考研数学三中，概率论与数理统计部分大约占22%，虽然所占比重较小，但是大家在复习的时候，一样会感到困难重重，特别是在做习题以及解决实际应用方面遇到的困难会更多一些。为了帮助大家在解题时更轻松一点，小编给大家分享一些考研数学概率解题常用思路集锦。
1、如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式;当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式。
2、若给出的试验可分解成(0-1)的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式
3、若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组。
4、若题设中给出随机变量X~N则马上联想到标准化~N(0，1)来处理有关问题。
5、求二维随机变量(X，Y)的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而的求法类似。
6、欲求二维随机变量(X，Y)满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，应该马上联想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的区域的公共部分。
7、涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作(0-1)分解。即令
8、凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率(或已知概率求随机变量个数)的问题，马上联想到用中心极限定理处理。
9、若为总体X的一组简单随机样本，则凡是涉及到统计量的分布问题，一般联想到用分布，t分布和F分布的定义进行讨论。
20__考研数学线性代数知识点整理
第一章行列式
1、行列式的定义
2、行列式的性质
3、特殊行列式的值
4、行列式展开定理
5、抽象行列式的计算
第二章矩阵
1、矩阵的定义及线性运算
2、乘法
3、矩阵方幂
4、转置
5、逆矩阵的概念和性质
6、伴随矩阵
7、分块矩阵及其运算
8、矩阵的初等变换与初等矩阵
9、矩阵的等价
10、矩阵的秩
第三章向量
1、向量的概念及其运算
2、向量的线性组合与线性表出
3、等价向量组
4、向量组的线性相关与线性无关
5、极大线性无关组与向量组的秩
6、内积与施密特正交化
7、n维向量空间(数学一)
第四章线性方程组
1、线性方程组的克莱姆法则
2、齐次线性方程组有非零解的判定条件
3、非齐次线性方程组有解的判定条件
4、线性方程组解的结构
第五章矩阵的特征值和特征向量
1、矩阵的特征值和特征向量的概念和性质
2、相似矩阵的概念及性质
3、矩阵的相似对角化
4、实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵
第六章二次型
1、二次型及其矩阵表示
2、合同变换与合同矩阵
3、二次型的秩
4、二次型的标准型和规范型
5、惯性定理
6、用正交变换和配方法化二次型为标准型
7、正定二次型及其判定
